В Театре-студии киноактера Моргунов проработал до 1953 года. Одновременно в этот же период Моргунов являлся актером академического Малого театра. Характер в то время у Евгения Моргунова был непростой, что часто приводило к конфликтам, и попыткам уволить его из театра. После одной из таких попыток Моргунов обратился за помощью к режиссеру Александру Довженко, у которого однажды снимался в массовке, с просьбой дать ему характеристику. Довженко написал: «Талантлив ли Моргунов? Этого я не знаю, но если в экспедиции застрянет машина, Моргунов тут же ее вытащит. Талантлив ли Моргунов? Этого я не знаю, но Моргунов прекрасно переносит жару и холод, и если надо - неприхотлив в еде. Талантлив ли Моргунов? Этого я не знаю, но он прекрасно умеет доить корову и переносит на ногах грипп. Такой, как Моргунов, в экспедиции незаменим. Талантлив ли Моргунов? Этого я не знаю, но вы-то знаете, талантлив ли Моргунов». Дирекция театра не очень поняла, на что намекает режиссер, но оставила Моргунова в покое.

Кардинальный поворот в актерской карьере Евгения Моргунова неразрывно связан с именем Леонида Гайдая, который после провала своего фильма «Трижды воскресший» в 1960 году уехал в Иркутск к родителям, где обнаружил на чердаке их дома номер газеты «Правды» с фельетоном в стихах «Пес Барбос» Степана Олейника. Фельетон заинтересовал его, и он рассказал сюжет будущего фильма супруге - актрисе Нине Гребешковой: «Нинок, ты послушай, как это смешно! Бежит Пес – 2 метра пленки, за ним Бывалый – 3 метра, оглядывается - 1,5 метра. Общий план - бегут все...» Родные только плечами пожали: «Три дурака бегают от собаки со взрывчаткой, которую сами же и бросили. Что ж тут смешного?» Гребешкова ответила: «Потрясающе!»

Двух «друзей-алкоголиков» подобрал сам режиссер - любимый актер Гайдая Георгий Вицин согласился сыграть Труса, а роль Балбеса досталась клоуну Юрию Никулину. А Моргунова определил в картину Гайдая Иван Пырьев. Леониду Иовичу позвонила секретарша Пырьева, который был в тот момент директором «Мосфильма» и сообщила: «Вам просили передать, чтобы вы не тратили время и средства и никого больше не искали. Пырьев лично утверждает на роль Бывалого Евгения Моргунова». Евгению повезло, что Пырьев случайно его заметил в съемочном павильоне и решил таким образом помочь Гайдаю.

Перевоплощаться в Бывалого Моргунову было почти не нужно – он фактически играл самого себя, только со знаком минус. В его отрицательность верили даже животные, с которыми он снимался в первых гайдаевских короткометражках. На съемках фильма «Пес Барбос и необычный кросс» собака, игравшая Барбоса, почему-то все время кусала именно Моргунова. В «Самогонщиках», где снимался уже другой пес, тот тоже первым делом набрасывался именно на «Бывалого». По всей видимости, собакам не нравился отрицательный персонаж, сыгранный Моргуновым слишком правдоподобно. Тем временем сам Евгений Моргунов после исполнения роли Бывалого имел фантастический успех у публики. 9-минутный фильм «Пес Барбос и необычайный кросс» с его участием стал настоящей сенсацией. Зрители свершали паломничество в кинотеатры, а Гайдай, став лауреатом всевозможных премий, занялся созданием следующего короткометражного фильма с участием Вицина, Моргунова и Никулина под названием «Самогонщики».

Но настоящим триумфом гайдаевской троицы стали комедии «Кавказская пленница» и «Операция «Ы» и другие приключения Шурика», которые сразу завоевали сердца десятков миллионов зрителей. После съемок в этих картинах на Никулина, Вицина и Моргунова обрушилась невероятная лавина славы. Моргунов стал не просто узнаваемым человеком, а превратился почти в национального героя. Увидев его, контролеры на стадионе улыбались, забывая про свои обязанности, а Моргунов мог взять с собой с десяток знакомых, небрежно кивнув: «Это со мной».

Однажды он прошел не просто на трибуну, а в ложу, где сидели высокопоставленные чиновники, и рядом с ним в ложе оказался генерал-лейтенант милиции. Моргунов во время матча попросил у него закурить, и генерал вытащил пачку «Казбека», чтобы угостить любимого актера. Моргунов в ответ взял папиросу, а когда генерал сделал движение, чтобы убрать пачку с сигаретами в карман, очень серьезно отметил: «Не надо прятать». И генерал держал папиросы в руках весь матч.