Евгений Евстигнеев был похоронен в Москве на Новодевичьем кладбище.

Признание и награды
Заслуженный артист РСФСР (1968).
Народный артист РСФСР (1974).
Государственная премия СССР (1974) — за исполнение роли Петра Хромова в спектакле «Сталевары» Г. К. Бокарева
Орден Трудового Красного Знамени (1982) — за заслуги в производстве советских телевизионных фильмов и активное участие в создании фильма «Семнадцать мгновений весны»
Народный артист СССР (1983)
Орден Ленина (1986)
Государственная премия РСФСР имени братьев Васильевых (1990) — за исполнение роли Филиппа Филипповича Преображенского в телевизионном фильме «Собачье сердце» (1988).
Премия «Хрустальная Турандот» (1992).