С ростом популярности Енгибарова на него стали обращать внимание и представители других творческих профессий, в том числе и кинематографисты. Отмечу, что еще в 1956 году Леонид появился в крошечном эпизоде фильма «Коммунист», сыграв одного из бандитов, убивавших главного героя картины (его играл Е. Урбанский). Однако съемки в этом эпизоде были всего лишь развлечением для тогда еще студента ГУЦИ Енгибарова.
Между тем в 1962 году артисту предложили сыграть в кино… самого себя. Режиссеры «Армен-фильма» Г. Малян и Л. Исаакян задумали снять фильм о цирковом клоуне и назвали его «Путь на арену». Картина была тепло принята зрителем и подняла популярность Енгибарова еще на одну ступеньку.
А через год после выхода картины на экран к артисту пришла и широкая международная известность. На Международном конкурсе клоунов в Праге в 1964 году Енгибаров получил 1-ю премию – кубок имени Э. Басса. Это был ошеломительный успех для 29-летнего артиста, которого всего лишь несколько лет назад мало кто воспринимал всерьез.

Конец 60-х годов можно считать самым удачным в творческой карьере Енгибарова. Он с успехом гастролирует как по стране, так и за ее пределами (в Румынии, Польше, Чехословакии). Помимо цирка, он выступает с «Вечерами пантомимы» на эстраде. Кроме этого, он пишет замечательную прозу (сам В. Шукшин называет его прекрасным писателем), которую публикуют журналы «Волга» (1969, № 6), «Москва» (1970, № 8), «Урал» (1971, № 7) и др. И, наконец, он снимается в кино у таких мастеров, как С. Параджанов (фильм «Тени забытых предков», 1964), Р. Быков («Айболит-66»), В. Шукшин («Печки-лавочки»), Т. Абуладзе («Ожерелье для моей любимой», оба 1972). Тогда же выходят и два фильма, рассказывающие о творчестве талантливого клоуна: «Знакомьтесь, Леонид Енгибаров» и «2 Леонид 2».

В 1971 году Енгибаров покинул Союзгосцирк, после того, как его партнера Белова (Юрий Павлович, педагог Енгибарова, единственный режиссёр, с которым он работал на протяжении всей своей жизни (а.)), не выпустили вместе с ним на зарубежные гастроли. Енгибаров создал эстрадный театр пантомимы и вскоре выпустил в свет спектакль «Звездный дождь». Правда, затея с созданием театра далась ему нелегко, в Министерстве культуры встретили это начинание артиста с прохладой. Когда он изъявил желание назвать свой коллектив «Театром Енгибарова», ему запретили это делать. «Какой еще может быть театр? – заявили ему. – Назовите просто ансамбль». На первых афишах он так и значился как ансамбль. Когда в газете «Советская культура» один из корреспондентов попытался написать восторженную рецензию на этот спектакль, его тут же одернули, сказали: «Эта тема сейчас нежелательна».

Между тем популярность Енгибарова у зрителей была огромной, он по праву считался одним из лучших цирковых артистов Советского Союза. В начале 1972 года с ним произошел случай, как нельзя лучше характеризующий отношение к нему простой публики. Леонид приехал в Ереван и пошел в родной для него цирк. В тот момент там уже шло представление, и, чтобы не мешать, Енгибаров тихонечко прошел в директорскую ложу и сел в углу. Однако кто-то из артистов узнал о его присутствии, и вскоре уже весь коллектив был оповещен об этом. Поэтому каждый из вновь выходящих на арену считал своим долгом сделать приветствующий жест в сторону директорской ложи. Это не укрылось и от зрителей, они стали шептаться между собой и все чаще оглядываться в сторону ложи. В конце концов инспектору манежа не оставалось ничего иного, как прервать представление и объявить на весь манеж: «Дорогие друзья! Сегодня на нашем представлении присутствует клоун Леонид Енгибаров!» Не успело стихнуть эхо этих слов под сводами цирка, как весь зал в едином порыве поднялся со своих мест и разразился оглушительными аплодисментами.
Артист был крайне смущен таким вниманием к своей персоне, но ничего поделать с этим уже не мог. Пришлось ему встать и выйти из темного угла на свет. Зрители продолжали горячо аплодировать, он пытался движением рук их унять, но у него, естественно, ничего не получилось. И тогда он, в благодарность за такую любовь, на ходу придумал пантомиму: раскрыв двумя руками свою грудную клетку, достал оттуда сердце, разрезал его на тысячи маленьких кусочков и бросил зрителям. Это было великолепное зрелище, достойное таланта прекрасного артиста.