По графику видно, что чем больше число сторон тем выше значение пи, то есть например пи 50-и угольника будет находиться где-то между пи 32 и пи 64. Поскольку любое рациональное приближение Пи окружности по сути есть использование Пи(n) n-угольника, да и еще и неправильного, так как все Пи в данном ряду - иррациональные. Для интереса найдем чему соответствует привычное приближение 3.14 Для этого придется решать уравнение вида sin(180/n)=Пи(окр)/n которое было решено итерацией. Получилось, что 3.14 это на самом деле многоугольник с числом сторон где-то между 56 и 57. То есть мало того что 3.14 это далеко не окружность, это еще и неправильный многоугольник с числом сторон 56 при этом одна из сторон уходит за границы окружности, так как фигур с дробным числом сторон не существует. Добавим и ее на график и обрежем по Х число углов до 64 так как все выше растет очень медленно и на графике фактически прямая:

Итак что еще осталось не исследованным? N<4 и другие ряды, не по степени двойки. Лезть туда особого смысла нет, ибо полученные значения лягут между значениями двоичного ряда и нет необходимости в построении непрерывного графика для любого N. Интерес представляет только N=3 и N=6 вот с ними и разберемся. N=3 это вписанный равносторонний треугольник. Путем аналогичных для квадрата построений получим что для N=3 Пи(3) равно 3*sqrt(3)/2 если его посчитать на калькуляторе получается что-то около 2.59807621 или приблизительно 2.6 Далее аналогично повернем треугольник на 60 градусов и по вершинам построим шестиугольник.

Без всяких лишних построений очевидно, что правильный шестиугольник состоит из 6-и равносторонних треугольников и у него соотношение периметра к диагонали равно ровно 3. Это единственный из всех многоугольников, для которого Пи - рациональное число. Можно также предположить, что для N=2 получим отрезок совпадающий с диаметром, то есть пи(2)=1, для N=1 получим уже как минимум радиус (тогда пи(1)=1/2) и для N=0 имеем всего лишь точку, у точки размер 0, а ноль на что ни дели все равно будет 0. То есть пи(0)=0. Добавляем все это в график и смотрим что получилось

Судя по тому что для N<3 имеем явный разрыв и изменение поведения функции, мои рассуждения про фигуры с N<3 несправедливы и само собой таких фигур не существует. То есть функция начинается с N=3 и до бесконечности, так и нарисуем ограничив N до 64

Итак, мы имеем множество иррациональных чисел, которые до того как представлены рациональными эквивалентами являются значением пи соответствующего многоугольника и одну единственную фигуру (правильный шестиугольник) для которой пи рациональное целое число. Этим как раз таки и объясняется, почему окружность легко и абсолютно точно можно поделить на 6 частей. Но 6 это 2*3, исходя из этого окружность также легко делится пополам (просто проводим прямую через центр) и из 6-и угольника также легко выделяется вписанный равносторонний треугольник. Если следовать этому, то окружность можно один раз поделить на 3 и потом делить что получилось на два и еще раз на два и так далее либо делить на два сколько угодно раз и потом что получилось можно будет один раз разделить на 3. То есть если разложить такое на простые множители, то получим 3*2*2*2*... и т.д. В этом разложении не присутствует вторая тройка (что имеет место при делении на 360) а также нет 5-ки (что имеет место при делении на 360 и 400). Этим как раз и можно объяснить, что для некоторых значений углов есть алгебраические (пусть и иррациональные) значения тригонометрических функций а для некоторых углов можно лишь найти рациональное приближение и по сути значения тригонометрических функций для таких углов также трансцендентные. Если делить окружность согласно множителей 3 и 2, то ближайшее похожее на привычные нам 90 градусов будет 96 (3*2*2*2*2*2) и вся окружность тогда будет не 360 а 384 градуса. Это первые грабли, на которые наступили древние и которые вручили нам, с чем и маемся. Если делить окружность на 384 а не 360 градусов (и далее доли не в десятичной системе и не минутах секундах и прочей фигне а кратно двойке), то значение любых тригонометрических функций любого такого угла будет алгебраическим.
С Пи вроде бы как разобрались, и я наглядно показал, что используя любое рациональное приближение, пусть хоть с миллионом знаков после запятой, мы на самом деле используем пи какого-то многоугольника, пусть даже и с очень большим числом сторон, и к тому же еще и неправильного. То есть, фактически, вычисляя Пи окружности с точностью в миллион знаков после запятой мы ищем не константу а предел функции, график которой я привел. Осталось теперь разобраться, а что же такое окружность? Лезем на вики и читаем определение https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C Определений там множество, я возьму самое первое и оно меня вполне устраивает: “Окру?жность - это фигура, которая состоит из всех точек на плоскости, равноудаленных от данной точки. Эта точка называется центром окружности”. Очевидно, что многоугольник даже с большим числом сторон этому определению не удовлетворяет и окружностью считаться не может. Попробуем поискать, где же эта самая окружность прячется, параметры которой удовлетворяют определению. Возьмем для наглядности тот же чертеж с двумя квадратами: