В математическом анализе обычно когда ищут предел чего либо, то что-то фиксируют а что-то устремляют в бесконечность и смотрят что получится. Когда ищут Пи и пределы с ним связанные обычно фиксируют диаметр окружности (принимая его за 1) и устремляя в бесконечность N числа сторон многоугольника. Я сделаю немного иначе - зафиксирую основание EF треугольника AEF и буду устремлять в бесконечность диаметр окружности и число N разбиений. Как было показано выше, при таком построении описанного и вписанного многоугольников окружность всегда проходит через такой треугольник и его два угла, при увеличении числа разбивок меняется только высота треугольника. С ростом числа разбиений высота такого треугольника стремится к нулю и при бесконечном N вершина А сольется с основанием EF. но так как не существует треугольников, у которых сумма двух сторон равна третьей стороне (само собой я оперирую евклидовой геометрией), то мы получим что окружность выродилась в прямую. Но мы же знаем что прямая это не окружность.... она типа бесконечна и не имеет ни начала ни конца... а с другой стороны, что мы вообще знаем про прямые? Итак, берем листок на котором с самого начала рисовали прямую и окружность и смотрим еще раз что мы там нарисовали... внимательно... Мы нарисовали прямую? Нет. Мы нарисовали по сути отрезок. Можно конечно же нарисовать прямую так, что она будет занимать весь лист. Ну и что? Это опять отрезок. Только ограничен физическими размерами листа. Попробуйте нарисовать бесконечную прямую. Не выйдет, ибо мы с вами существа имеющие вполне конечные размеры, на конечных размеров планете живущие и доступна нам далеко не вся бесконечная Вселенная. Выходит, мы никогда не имели дело с истинной прямой, а всегда оперируем отрезками. А я тут взял и вывел вдруг, что прямая суть фрагмент окружности бесконечного диаметра. А где мы имеем такие прямые? О! Да наше евклидово пространство трехмерное да ось координат ХYZ, как раз по сути оно и есть... Ну что еще не бесконечно, как пространство в котором мы находимся? Но если оно бесконечно, даже двигаясь по прямой бесконечно долго вы все равно вернетесь в ту точку откуда и начали движение. А если будете менять направление то в ту же точку не вернетесь, но все равно за пределы пространства не выйдете, ибо оно как бы само в себя свернуто в этакую "суперсферу", в которой нет ни входа ни выхода за ее пределы... Продолжим анализ далее. Итак, физики утверждают, что Вселенная которую мы видим и в которой живем развернулась из точки сингулярности, вместе с пространством временем и всем что ее наполняет. Но тогда можно предположить, что то что нам кажется бесконечным таковым все же не является. То же пространство, если оно развернулось из точки, что мешает продолжать ему непрерывно расти далее? Предположим что гипотеза что пространство свернуто в окружность по любому из направлений верна и скорость роста пространства меньше скорости света. Что получим тогда? Свет от нашей галактики идет как в ту сторону что смотрит наблюдатель, так и в обратную. Сделав такой "круг", он опять вернется в ту же точку, но уже со стороны куда смотрит наблюдатель. Но так как расстояние пройдено огромное, дошедший луч будет ничтожно мал и слаб. Но астрономия на месте не стоит, и вот навели Хаббл на пустое место на небе, сделали увеличение побольше да выдержку подольше и что там увидели? Множество самых разных галактик и туманностей которым нет числа... И сделали вывод что количество материи во Вселенной бесконечно. Количество звезд бесконечно. Но если это так, то мы тогда должны видеть равномерно засвеченное небо а не зияющую черноту с редкими вкраплениями звезд. Чтобы как-то сей факт объяснить, придумали наличие темной материи да темной энергии которые этот свет поглощают. А на деле мы может быть имеем дело со своего рода "трельяжом" только космических масштабов и в нашей Вселенной вполне конечное количество звезд, галактик и вещества. Намного меньше чем нам сейчас кажется.
Если кто не знает, трельяж это зеркало состоящее и неподвижного и двух створок, как например на этой картинке

Если створки сомкнуть и внутрь такого зеркала посмотреть, то можно увидеть отражение себя любимого бесконечно уходящее вдаль. Но так как зеркало не идеальный отражатель света, то обычно видно первые N переотражений. И сколько их видно зависит от освещенности, качества зеркала и остроты зрения наблюдающего.
Но это еще не все. Первое условие которое вижу я, для того чтобы построить окружность удовлетворяющее ее научному определению - бесконечно большой диаметр как и сама окружность. То есть в "истинной бесконечности" вы окружность построите. А в нашем конечном мире - не получится. Попробуем с этим разобраться и заодно поискать нижний предел выполнения условия. Ведь как-то мы их тем же циркулем рисуем ведь? Итак снова берем листок бумаги и смотрим на "окружность". Пытаемся понять, а что же в ней не так? Не видно? Берем лупу и смотрим. Не помогло? Карандаш был очень тонкий и циркуль очень качественный, да такой что нарисовали линию атомарных размеров? Тогда берем "электронный микроскоп" или просто напрягаем воображение и пытаемся понять, что у нас получится если минимальная единица такой окружности - атом. А можно не напрягаться и вспомнить, как рисовались окружности из бейсика на экране первых компьютеров. Тогда с разрешением экрана было туго и точки были крупные и хорошо различимые. Что там получалось? Окружность? Или некоторая кривая "лесенкой", на окружность только похожая? Сейчас с разрешением экранов стало получше и мы зернистости не видим, но возьмите лупу - она куда-то делась? Просто стала мельче и незаметней. Зернистость размером в атом нам совсем не видна и даже в самые лучшие микроскопы, но мы знаем что атом имеет конечные размеры, это давно доказано. Следствие сего - вы никогда в мире состоящем из конечных атомов не сможете построить идеальной окружности как в определении. На проверку это обязательно окажется некая кривая, состоящая из отрезков, которая окружностью только кажется. Каково тогда условие чтобы мы видели или смогли построить идеальную окружность? Оно простое и очевидное - при условии что наша материя состоит из бесконечно малых точек, размер которых не измерить и не описать. То есть мы либо должны залезть во вселенную и строить окружность бесконечно больших размеров, либо влезть на "самое дно" микромира и пытаться построить ее там предполагая что это “дно” бесконечно мало и бесконечно равномерно. Но мир атомов состоит из конечного размера частиц, они не однородны, состоят из других более мелких, которые также конечны и не однородны, и как этим не оперируй идеальной окружности не получится. Так почему тогда математики не могут найти Пи окружности и считают его трансцендентным? Потому что в нашем конечном мире, состоящем из конечных сущностей, не существует такой фигуры как окружность. Это фигура из области бесконечности, только там может существовать и только там Пи - вещественное число, хоть и бесконечно большое. Так откуда мы тогда знаем про окружность? Да от тех же древних. С истории изобретения колеса. Далее открыли что планеты вокруг Солнца по орбитам близким к окружности летают, и сами Солнце да планеты имеют форму сфер. Посчитали с приемлемой точностью для нашего конечного мира и решаемых задач Пи, вывели формулы тригонометрии, построили кучу теорий многое объясняющих (и не менее многое запутывающих), пользуемся, привыкли и в аксиомы не лезем ибо делать там нечего. Далее следует простой вывод о граблях, на которые мы наступили и которые называются "мышлением по аналогии": Вот мы привыкли что планеты вокруг Солнца летают, а так как размеры их и радиусы орбит много больше размеров атомов, приняли что это все равномерные окружности, забили в формулы, получили хорошее совпадение результатов, приняли за истину и успокоились. Далее физики влезли в атом, нашли что там есть ядро, что оно тяжелое и в центре, что по орбитам летают электроны, но посмотреть на это никак нельзя, осталось только вообразить. Что вообразили? По аналогии с планетами солнечной системы резерфордовскую планетарную модель атома. Что электроны летают вокруг атомов по круговым орбитам. Но тут всплыло, что электрон двигаясь по такой орбите будет излучать энергию, а значит терять импульс и упадет на ядро. Что атом так существовать не может. Пришлось спасать теорию и придумывать запрещенные уровни, на которых электрон находиться не может, а может только на разрешенных. Так называемых орбиталях. И может переходить только из одной орбитали в другую. Но так как при этом энергия меняется скачком, то выползла квантовая физика и все что за ней последовало. Почему квантами – никто не знает. Почему не может в запрещенной орбитали находиться? Неизвестно. Табу. Кто-то запретил, например Создатель, так и существует, нам остается только пользоваться. Про то как электрон с орбиты на орбиту скачком переходит я отдельно пройдусь. Представьте, что Земля вот так в миг со своей орбиты перешла на орбиту Марса а потом обратно. Не получается? Она же массу какую имеет, инерцию, это сколько энергии в миг нужно ей сообщить/отобрать чтобы она так скакала? Бесконечно много, так как время перехода равно нулю. Электрон не Земля, весит поменьше, но все же массу имеет, а значит и свой импульс и свою инерцию. И вот нам приспичило его разогнать чтобы он влез на орбиту повыше. Ну там фотон прилетел побеспокоил. В планетарной модели такое движение перехода с орбиты на орбиту должно быть линейным. А нельзя, квантовая механика порушится вместе со всеми теориями что на ее фундаменте стоят. А что он тогда делает, этот электрон? А телепортируется. И туннельный эффект туда же в ту же область. Вот что получается, когда мы по аналогии, привычные нам понятия макромира пытаемся натянуть на происходящее в микромире и этим как-то суть процессов в нем объяснить. А микромир то совсем иной. И единственная "лупа" которой туда еще можно влезть это математический анализ. Или просто математика. А у нас в этой лупе блохи завелись... что мы тогда увидим? Итак, исходя из того что я вывел для окружностей логично следует то, что электрон не может летать вокруг ядра по круговым орбитам. В силу того, что нет для него такой геометрической фигуры как окружность. Значит будет летать по иным траекториям, сходным с каким то из многоугольников. Из правильных, иначе энергию терять будет да упадет на ядро. Допустим по квадрату. О том что эта гипотеза похожа на правду говорит тот факт, что многие вещества склонны образовывать кубические кристаллические решетки. Чего бы им не стремиться к шару как все жидкое в макромире? Зачем им энергетически более избыточные структуры? А потому что таковы траектории их электронов и суммарный вклад приводит к тому, что соседним атомам проще выстроиться в такую решетку нежели с ней бороться и быть аморфным. Но простите, резкий поворот на 90 градусов это тоже приложение импульса согласно ньютоновской механике, попробуйте вы в макромире например авто на 100км/ч под прямым углом в поворот вписать. Не выйдет, перевернетесь. А электрон чем хуже? А вот тут похоже (моя гипотеза) придется забыть все что мы знаем про частицы и в качестве таковой электрон не рассматривать. Электрон это по сути конгломерат энергетических полей, суть и природа которых нам непонятна и недоступна. Мы знакомы с немногим из того что возможно есть - электричество магнетизм да гравитация. И то уже знаем, что та же электромагнитная волна (фотон например) при движении поочередно переходит из электрического поля в магнитное и наоборот. Есть точки где он целиком магнит. Есть где целиком заряд. Векторы этих полей всегда расположены под углом 90 градусов то есть имеет место переход энергии из одного вида поля в другой. Возможно что-то похожее происходит и с электроном - он двигаясь непрерывно взаимодействует через электрическое поле с ядром. Двигаясь по прямой вдоль ядра он теряет импульс, его энергия переходит в иной вид поля, повернутого под 90 градусов к текущему, при исчерпании импульса направление движения меняется. Тогда если вдруг "побеспокоил фотон" то его импульс складывается с тем что есть, движение по прямой продолжается далее, выходим на новую орбиту и там движемся аналогично. Но при этом возникает также и импульс приложенный через электрополе к ядру, что приводит к его смещению в пространстве, сам атом приходит в движение, сталкивается с другими, в итоге такого взаимодействия электрон опять отдает фотон и возвращается на прежнюю орбиту. И никакой мистики со скачками да туннелями, там скорее всего и понятий (опять же из нашего микромира) о непроницаемых барьерах ака стенка о которые электрон может биться и не пробить и близко нет. А что есть - никаким микроскопом не подсмотреть. Только математика. Но тут начинаются такие дебри, в которые лезть мне с моими скромными познаниями нет никакого смысла... Посему если сие вдруг дойдет до толковых физиков/математиков и они не сочтут сие бредом, то пусть они дальше морщат лоб и разбираются со своими теориями :)